Kosinus Funktion

Definition

Die Kosinusfunktion (kurz:cos) ist eine mathematische Funktion, die einem Winkel einen bestimmten Zahlenwert zuordnet. Man kennt sie vor allem aus der Trigonometrie. In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Kosinus eines Winkels das Verhältnis von Ankathete zu Hypotenuse. In einem Einheitskreis, der einen Radius von 1 hat, entspricht der Kosinus eines Winkels dem x-Koordinatenwert des Punktes, an dem der Strahl, der den Winkel bildet, den Kreis schneidet.

Graph

Eigenschaften

Periodisch mit Periode 2π
Wertebereich: [-1, 1]
Nullstellen bei nπ mit n ∈ ℤ

Erklärvideo zur Kosinusfunktion

2. Verschiebung der Kosnusfunktion

Die Kosinusfunktion f(x) = cos(x) kann in verschiedene Richtungen verschoben werden:

2.1 Vertikale Verschiebung (nach oben/unten)

Wenn man zur Funktion einen konstanten Wert addiert oder subtrahiert, verschiebt sich der Graph entlang der y-Achse:

f(x) = cos(x) + c → verschiebt den Graphen um c Einheiten nach oben
f(x) = cos(x) - c → verschiebt ihn um c Einheiten nach unten

Beispiel:
f(x) = cos(x) + 2 → Der Scheitelpunkt liegt jetzt bei y = 3 statt bei y = 1

2.2 Horizontale Verschiebung (nach links/rechts)

Wenn man im Argument der Kosinusfunktion einen Wert addiert oder subtrahiert, verschiebt sich der Graph entlang der x-Achse:

f(x) = cos(x - a) → verschiebt den Graphen um a Einheiten nach rechts
f(x) = cos(x + a) → verschiebt ihn um a Einheiten nach links

Beispiel:
f(x) = cos(x - π/2) → Der Y-Achsenabschnitt liegt nun bei 0 statt 1.

3. Streckung und Stauchung der Kosinusfunktion

Die Kosinusfunktion f(x) = cos(x) kann durch Multiplikation mit einem Faktor gestreckt oder gestaucht werden.

3.1 Streckung/Stauchung entlang der y-Achse (Amplitude)

Der Vorfaktor a vor dem Kosinus beeinflusst die Höhe der Wellen (Amplitude):

f(x) = a · cos(x)
Ist |a| > 1 → Streckung in y-Richtung (höhere Wellen)
Ist 0 < |a| < 1 → Stauchung in y-Richtung (flachere Wellen)
Ist a < 0 → zusätzlich Spiegelung an der x-Achse

Beispiele:

f(x) = 2 · cos(x) → Amplitude = 2
f(x) = 0.5 · cos(x) → Amplitude = 0.5
f(x) = -1 · cos(x) → gespiegelt an der x-Achse

3.2 Streckung/Stauchung entlang der x-Achse (Frequenz/Periode)

Der Faktor b im Argument beeinflusst, wie „schnell“ die Wellen schwingen:

f(x) = cos(b · x)
Ist |b| > 1 → Stauchung in x-Richtung (mehr Wellen pro Intervall)
Ist 0 < |b| < 1 → Streckung in x-Richtung (weniger Wellen pro Intervall)

Die Periodenlänge ergibt sich durch: P = 2π / |b|