↓ Kapitel 2: Verschiebung

↓ Kapitel 3: Streckung/Stauchung

Definition

Die Sinusfunktion (kurz:sin) ist eine mathematische Funktion, die einem Winkel einen bestimmten Zahlenwert zuordnet. Man kennt sie vor allem aus der Trigonometrie. In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Sinus eines Winkels das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse.

Graph

Eigenschaften

• Periodisch mit Periode 2π
• Wertebereich: [-1, 1]
• Nullstellen bei nπ mit n ∈ ℤ

2. Verschiebung der Sinusfunktion

Die Sinusfunktion f(x) = sin(x) kann in verschiedene Richtungen verschoben werden:

2.1 Vertikale Verschiebung (nach oben/unten)

Wenn man zur Funktion einen konstanten Wert addiert oder subtrahiert, verschiebt sich der Graph entlang der y-Achse:

• f(x) = sin(x) + c → verschiebt den Graphen um c Einheiten nach oben
• f(x) = sin(x) - c → verschiebt ihn um c Einheiten nach unten

Beispiel:
f(x) = sin(x) + 2 → Die Scheitelpunkte liegt jetzt bei 3 und 1 statt bei 1 und -1

2.2 Horizontale Verschiebung (nach links/rechts)

Wenn man im Argument der Kosinusfunktion einen Wert addiert oder subtrahiert, verschiebt sich der Graph entlang der x-Achse:

• f(x) = sin(x - a) → verschiebt den Graphen um a Einheiten nach rechts
• f(x) = sin(x + a) → verschiebt ihn um a Einheiten nach links

Beispiel:
f(x) = sin(x - π/2) → Der Y-Achsenabschnitt liegt nun bei -1 statt 0.

3. Streckung und Stauchung der Sinusfunktion

Die Sininusfunktion f(x) = sin(x) kann durch Multiplikation mit einem Faktor gestreckt oder gestaucht werden.

3.1 Streckung/Stauchung entlang der y-Achse (Amplitude)

Der Vorfaktor a vor dem Sinus beeinflusst die Höhe der Wellen (Amplitude):

• f(x) = a · sin(x)
• Ist |a| > 1 → Streckung in y-Richtung (höhere Wellen)
• Ist 0 < |a| < 1 → Stauchung in y-Richtung (flachere Wellen)
• Ist a < 0 → zusätzlich Spiegelung an der x-Achse

Beispiele:

• f(x) = 2 · sin(x) → Amplitude = 2
• f(x) = 0.5 · sin(x) → Amplitude = 0.5
• f(x) = -1 · sin(x) → gespiegelt an der x-Achse

3.2 Streckung/Stauchung entlang der x-Achse (Frequenz/Periode)

Der Faktor b im Argument beeinflusst, wie „schnell“ die Wellen schwingen:

• f(x) = sin(b · x)
• Ist |b| > 1 → Stauchung in x-Richtung (mehr Wellen pro Intervall)
• Ist 0 < |b| < 1 → Streckung in x-Richtung (weniger Wellen pro Intervall)

Die Periodenlänge ergibt sich durch: P = 2π / |b|

Beispiele:

• f(x) = sin(2x) → doppelte Frequenz, halbe Periode
• f(x) = sin(0.5x) → halbe Frequenz, doppelte Periode